Ứng dụng của bất đẳng thức trong Toán THCS

Đây là bài thứ 9 of 15 trong series Chuyên đề: Bất đẳng thức THCS

Trong chương trình Toán trung học cơ sở (THCS), các em có thể sử dụng bất đẳng thức để giải phương trình, tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của biểu thức.

Các em xem những ví dụ dưới đây để hiểu rõ.

1. Ứng dụng bất đẳng thức để giải phương trình

Ví dụ 1:

Giải phương trình: $\displaystyle \left| x-5 \right|+\left| x-2 \right|=3$

Giải

áp dụng BĐT $\left| x \right|+\left| y \right|\ge \left| x+y \right|$. Ta có

$\left| x-5 \right|+\left| x-2 \right|$ = $\left| x-5 \right|+\left| 2-x \right|$ ≥ $\left| x-5+2-x \right|$ = 3.

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi  (x – 5)(2 -x) ³ 0 hay  2 ≤ x ≤ 5

Vậy phương trình có nghiệm  với mọi x thoả mãn 2 ≤ x ≤ 5

Ví dụ 2:

Giải phương trình: $\sqrt{3{{x}^{2}}+6x+7}+\sqrt{5{{x}^{2}}+10x+14}=4-2x-{{x}^{2}}$

Giải:

Ta có : $\displaystyle \sqrt{3{{x}^{2}}+6x+7}=\sqrt{3\left( {{x}^{2}}+2x+1 \right)+4}=\sqrt{3{{\left( x+1 \right)}^{2}}+4}\ge 2$

$\displaystyle \sqrt{5{{x}^{2}}+10x+14}=\sqrt{5\left( {{x}^{2}}+2x+1 \right)+9}=\sqrt{5{{\left( x+1 \right)}^{2}}+9}\ge 3$

Suy ra: Vế trái = $\sqrt{3{{x}^{2}}+6x+7}+\sqrt{5{{x}^{2}}+10x+14}\ge 5$.

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi x = -1.

mà Vế phải = $\displaystyle 4-2x-{{x}^{2}}=-{{\left( x+1 \right)}^{2}}+5\le 5$.

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi x = -1

Vậy phương trình có nghiệm x = -1

2. Ứng dụng bất đẳng thức để tìm GTLN, GTNN

Ví dụ 1

Cho a , b, c là 3 số dương có tổng bằng 1. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức.

A = $\sqrt{a+1}+\sqrt{b+1}+\sqrt{c+1}$

Giải:

*Cách 1: Dùng BĐT Bunhiacôpxki

Ta có A² = ${{\left( \sqrt{a+1}+\sqrt{b+1}+\sqrt{c+1} \right)}^{2}}\le \left( {{1}^{2}}+{{1}^{2}}+{{1}^{2}} \right)\left( a+1+b+1+c+1 \right)$ =  12

mà A > 0. Suy ra A ≤ $\sqrt{12}=2\sqrt{3}$ . Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi  a = b = c = $\displaystyle \frac{1}{3}$

* Cách 2: Dùng điểm rơi Côsi

Ta có: $\sqrt{a+1}=\frac{\sqrt{3}}{2}\sqrt{\left( a+1 \right)\frac{4}{3}}\ge \frac{\sqrt{3}}{2}\left( \frac{a+1+\frac{4}{3}}{2} \right)=\frac{\sqrt{3}}{12}\left( 3a+7 \right)$

Tương tự: $\displaystyle \sqrt{b+1}\ge \frac{\sqrt{3}}{12}\left( 3b+7 \right)$ ; $\displaystyle \sqrt{c+1}\ge \frac{\sqrt{3}}{12}\left( 3c+7 \right)$

Suy ra: $\displaystyle \sqrt{a+1}+\sqrt{b+1}+\sqrt{c+1}\ge \frac{\sqrt{3}}{12}\left( 3\left( a+b+c \right)+21 \right)=2\sqrt{3}$

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi $\displaystyle a=b=c=\frac{1}{3}$

3) Ứng dụng bất đẳng thức để chứng minh phương trình bậc hai có nhiệm, có hai nghiệm phân biệt.

Ví dụ 1: Cho phương trình: x² + 2mx + (m – 1) = 0        với m là tham số

Chứng minh rằng phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt