WebToan.Com là thư viện mở ngành Toán học NÊN sao chép, chia sẻ, KHÔNG NÊN thương mại hoá.

Ứng dụng của bất đẳng thức trong Toán THCS

Đây là bài thứ 9 of 15 trong series Chuyên đề: Bất đẳng thức THCS

Trong chương trình Toán trung học cơ sở (THCS), các em có thể sử dụng bất đẳng thức để giải phương trình, tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của biểu thức.

Các em xem những ví dụ dưới đây để hiểu rõ.

1. Ứng dụng bất đẳng thức để giải phương trình

Ví dụ 1:

Giải phương trình: $ \displaystyle \left| x-5 \right|+\left| x-2 \right|=3$

Giải

áp dụng BĐT $ \left| x \right|+\left| y \right|\ge \left| x+y \right|$. Ta có

$ \left| x-5 \right|+\left| x-2 \right|$ = $ \left| x-5 \right|+\left| 2-x \right|$ ≥ $ \left| x-5+2-x \right|$ = 3.

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi  (x – 5)(2 -x) ³ 0 hay  2 ≤ x ≤ 5

Vậy phương trình có nghiệm  với mọi x thoả mãn 2 ≤ x ≤ 5

Ví dụ 2:

Giải phương trình: $ \sqrt{3{{x}^{2}}+6x+7}+\sqrt{5{{x}^{2}}+10x+14}=4-2x-{{x}^{2}}$

Giải:

Ta có : $ \displaystyle \sqrt{3{{x}^{2}}+6x+7}=\sqrt{3\left( {{x}^{2}}+2x+1 \right)+4}=\sqrt{3{{\left( x+1 \right)}^{2}}+4}\ge 2$

$ \displaystyle \sqrt{5{{x}^{2}}+10x+14}=\sqrt{5\left( {{x}^{2}}+2x+1 \right)+9}=\sqrt{5{{\left( x+1 \right)}^{2}}+9}\ge 3$

Suy ra: Vế trái = $ \sqrt{3{{x}^{2}}+6x+7}+\sqrt{5{{x}^{2}}+10x+14}\ge 5$.

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi x = -1.

mà Vế phải = $ \displaystyle 4-2x-{{x}^{2}}=-{{\left( x+1 \right)}^{2}}+5\le 5$.

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi x = -1

Vậy phương trình có nghiệm x = -1

Vui lòng nhập mật khẩu để tiếp tục

👉 Để CHẤT LƯỢNG TÀI LIỆU đến các em học sinh và giáo viên được tốt nhất. Mọi người vui lòng nhập mật khẩu vào ô bên trên

🔎 Lấy mật khẩu bằng cách xem hướng dẫn từ video này

‼️‼️‼️ Hướng dẫn lấy mật khẩu (làm theo video bên dưới)

🔜 Sau khi lấy được Mã thì quay lại điền vào ô Nhập Mật Khẩu ở trên

1600222893 cua nhom

2. Ứng dụng bất đẳng thức để tìm GTLN, GTNN

Ví dụ 1

Cho a , b, c là 3 số dương có tổng bằng 1. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức.

A = $ \sqrt{a+1}+\sqrt{b+1}+\sqrt{c+1}$

Giải:

*Cách 1: Dùng BĐT Bunhiacôpxki

Ta có A2 = $ {{\left( \sqrt{a+1}+\sqrt{b+1}+\sqrt{c+1} \right)}^{2}}\le \left( {{1}^{2}}+{{1}^{2}}+{{1}^{2}} \right)\left( a+1+b+1+c+1 \right)$ =  12

mà A > 0. Suy ra A ≤ $ \sqrt{12}=2\sqrt{3}$ . Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi  a = b = c = $ \displaystyle \frac{1}{3}$

* Cách 2: Dùng điểm rơi Côsi

Ta có: $ \sqrt{a+1}=\frac{\sqrt{3}}{2}\sqrt{\left( a+1 \right)\frac{4}{3}}\ge \frac{\sqrt{3}}{2}\left( \frac{a+1+\frac{4}{3}}{2} \right)=\frac{\sqrt{3}}{12}\left( 3a+7 \right)$

Tương tự: $ \displaystyle \sqrt{b+1}\ge \frac{\sqrt{3}}{12}\left( 3b+7 \right)$ ; $ \displaystyle \sqrt{c+1}\ge \frac{\sqrt{3}}{12}\left( 3c+7 \right)$

Suy ra: $ \displaystyle \sqrt{a+1}+\sqrt{b+1}+\sqrt{c+1}\ge \frac{\sqrt{3}}{12}\left( 3\left( a+b+c \right)+21 \right)=2\sqrt{3}$

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi $ \displaystyle a=b=c=\frac{1}{3}$

Ứng dụng của bất đẳng thức trong Toán THCS

3) Ứng dụng bất đẳng thức để chứng minh phương trình bậc hai có nhiệm, có hai nghiệm phân biệt.

Ví dụ 1: Cho phương trình: x2 + 2mx + (m – 1) = 0        với m là tham số

Chứng minh rằng phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt

Ứng dụng của bất đẳng thức trong Toán THCS

★★★ Danh sách các tài liệu, đề thi HOT ★★★

✔️ 240+ Đề thi toán lớp 9

✔️ 10+ Đề thi học sinh giỏi quốc gia

Bình luận
0 0 vote
Article Rating
Subscribe
Notify of
guest
0 Comments
Inline Feedbacks
View all comments
Bình luận fb
0
Would love your thoughts, please comment.x
()
x